Selasa, 18 Desember 2012

IMM Sebagai Gerakan Mahasiswa Pembebasan


IMM SEBAGAI GERAKAN MAHASISWA YANG
MEMBEBASKAN

Oleh: Fahrudin Yusup[*]




A. Pendahuluan
          Pergolakan mahasiswa telah lama terbangun sejak masa penjajahan sampai masa kemerdekaan dan sekarang. Tentunya cita-cita dan kondisi perjuangan mahasiswa berbeda setiap zamannya. Pada masa pra kemerdekaan tujuan dan kondisi perjuangan mahasiswa Indonesia adalah merebut dan memperjuangkan kemerdekaan Indonesia dari penjajahan Belanda. Lain halnya ketika masa post kemerdekaan perjuangan mahasiswa beralih menjadi gerakan penyeimbang dan pengontrol kinerja pemerintah. Dalam film Soe Hok Gie digambarkan bahwa pada tahun 1965 mahasiswa berbondong-bondong dalam aksi menolak pemerintahan orde lama. Selain itu tahun 1998 terjadi sebuah revolusi besar yang dilakukan mahasiswa terhadap pemerintahan Indonesia dengan mengundurkannya dictator orde baru yaitu presiden Soeharto. Akan tetapi ternyata polemic Negara kita tidak pernah selesai maka dengan demikian tugas mahasiswa sebagai agen perubahan, agen control, dan intelektual takan pernah selesai.
          Era revormasi sampai dengan sekarang telah mengalami banyak perubahan dalam dunia pergerakan mahasiswa. Banyak kepentingan elit politik menunggangi setiap gerakan mahasiswa. Sehingga idealism mahasiswa semaikin bias. Lantas apa yang kita harus lakukan sebagai mahasiswa? Upaya untuk menggerogoti idealism mahasiswa telah berhasil sejauh ini. Sehingga aksi-aksi yang dilakukan oleh mahasiswa tidak direspon positif oleh masyarakat karena mengingat mahasiswa sudah luntur idealismenya dan sudah ditunggangi kepentingan elit politik tertentu.
          Bagaimana dengan IMM? Saya kira IMM lambat laun semakin kehilangan ruh pergerakannya. Hal ini terlihat jelas bahwa sebagian besar kader IMM berkutat pada nilai-nilai religious. Sehingga mudah sekali digerogoti oleh paham-paham baru seperti paham gerakan Islam Transnasional. Ini yang mengakibatkan pola gerakan IMM sama halnya dengan Lembaga Dakwah Kampus. Padahal sejatinya cirri dari pergerakan mahasiswa adalah progresifitas yang tinggi dalam mengawal kemajuan kampus, daerah dan Negara.
          Di sini kita perlu konsepsi dimana kedepan IMM akan lebih progresif dalam gerakannya. Tidak hanya dalam gerakan dakwah dan social akan tetapi IMM harus turun serta dalam mengawal Bangsa Indonesia untuk lebih baik. Turun serta di sini  bukan berarti IMM secara terbuka ikut berpolitik praksis, akan tetapi IMM harus menjadi stabilitas kehidupan social, Bangsa dan Negara. IMM sebagai organisasi mahasiswa yang salah satu tujuanya adalah untuk mencetak kader bangsa ini harus mempunyai pemetaan yang jelas untuk menjadi kader bangsa. Kadar bengsa disini adalah wilayah-wilayah strategis dalam pemerintahan yang mana para kader out put IMM harus menempati ruang itu, sebagai salah satu jembatan untuk memajukan organisasi.
          Di sini, dalam tulisan ini saya akan mencoba memberikan konsepsi saya mengenai IMM sebagai gerakan mahasiswa yang membebaskan. IMM secara harus berupaya menafsirkan sesuatu secara kontekstual, insklusif dan progreseif sehingga perjuangan yang akan dilakukan IMM lebih mengarah pada pembebasan. Dalam makalah ini, yang akan saya awali pertama adalah menggambarkan konsep gerakan IMM itu sendiri, kemudian baru saya akan bagaimana gmabaran gerakan pembebasan dan akan saya tawarkan konsep mengenai gerakan IMM yang membebaskan.

B. Konsep Gerakan IMM
          IMM sebagai organisasi mahasiswa mempunyai konsep gerakan yang tidak sama dengan yang lainnya. Selain sebagai gerakan mahasiswa, IMM sebagai gerakan dakwah amar ma’ruf nahi munkar, yang berlandaskan atas Al-Quran dan As-Sunnah. Al-Quran dan As-Sunnah ini sebagai pedoman hidup umat manusia, sehingga gerakan dakwah IMM merupakan gerakan dakwah tajdid seperti Muhammadiyah ayahanda dari IMM.
          Selanjutnya, IMM mengenal trilogy yang menjadi kebanggaan para kadernya yaitu intelektual, humanis, dan religius. Ketiga trilogy tersebut merupak interpretasi dari tugas mahasiswa secara umum yaitu sebagai agent of change, agent of social control, dan agent intellectual. Berdasarkan hal tersebut, kadr IMM harus mempunyai intelektual yang tinggi dan mapan, peduli dengan keadaan social dan takwa terhadap Alloh Swt. Dalam gerakannya IMM berupaya menciptakan kader intelektual religious dan kader social religious. Ini dapat dilihat dari event-event yang dilaksanakan.
          Lambat laun perkembangan tajdid haruslah dirubah dalam paradigm kader-kader penerus Muhammadiyah. Karena dalam menuju abad ke dua ini, Muhammadiyah telah terjebak dalam konservatisme ke modernannya. Hal ini dapat dilihat Muhammadiyah hanya terus-menerus mengembangkan Amal Usaha Muhammadiyah, akan tetapi dalam segi pemikiran Muhammadiyah telah jauh tertinggal dengan tetangganya sendiri yaitu Nahdlatul Ulama. M. Dawam Raharjo  dalam buku Satu Abad Muhammadiyah mengatakan Muhammadiyah mengalami kemunduran lantaran sikap konservatisme dan fundamentalismenya. Hari depan Muhammadiyah dengan demikian adalah hari depan yang suram karena tidak lagi mewakili pemikiran yang moderat dan modern di Indonesia.
         
          Apa yang dialami Ayahandanya Muhammadiyah di atas juga dialami oleh IMM. IMM hanya berkutat pada pemikiran konservatif dan fundamentalisme, sehingga dengan mudah IMM dapat digerogoti oleh ideology-ideologi yang tidak baik demi perkembangan pergerakan IMM kedepan dan secara perlahan-lahan akan menghilangkan ideology Muhammadiyah. Seperti dimasukinya faham Islam Transnasional seperti Hizbut Tahrir yang membawa misi politik inernasional yaitu mendirikan khilafah. Bentuk sumbangsih dari pemikiran IMM itu seperti apa. Selama ini, dalam perjalanan saya aktif di IMM belum menemukan cirri pemikiran dari IMM. Adapun trylogi IMM adalah hanya sebuah identitas atau jati diri dari IMM. Akan tetapi saya sering bertanya-tanya mengenai trilogy tersebut karena sejatinya gambaran trilogy tersebut dalam diri kader IMM Cirebon saya belum menemukan.

C. Gerakan Pembebasan
      
Saya awali dengan arti dan makna pembebasan. Kata pembebasan berasal dari kata free/freedom yang artinya bebas/merdeka. Pembebasan dalam benak saya merupakan sebuah paradigm membebaskan umat manusia dari ketertindasan, dari belenggu kebodohan dan kemiskinan. Terciptanya ketimpangan social seperti kemiskinan dan kebodohan merupakan hasil dari penindasan system kapitalisme yang berkembang. Dalam kapitalisme rakyat Indonesia dijadikan alat produksi, dikuras habis tenaga dan pikirannya demi mengeruk keuntungan yang sebesar-besarnya ini yang dimaksud dengan penghisapan. Lebih luas lagi selain itu, masyarakat Indonesia dijajah dengan budaya negative yang dibawa melalui media televisi dan inernet.
Dalam teori marxisme, dengan adanya penghisapan oleh sebuah di Negara maka akan menciptakan kelas social. Kalas social yang dimaksud adalah kelas pemodal dan kelas buruh. Para buruh ini kemudian dihisap dengan dipekerjakan dengan upah yang sangat minim. Maka disinilah terjadinya sebuah ketidak merataannya social. Orang kaya bertambah kaya dan orang miskin bertambah miskin. Gerakan pembebasan kemudian dilakukan oleh para buruh untuk menuntut hak mereka. Maka disebut dengan perjuangan kelas. Perjuangan kelas ini dilakukan oleh  kaum proletariat, kaum buruh, orang-orang miskin, petani, dan tukang becak. Gerakan para kaum proletat ini merupakan gerakan pembebasan atau gerakan revolusioner demi terciptanya Negara tanpa kelas atau Karl Marx menyebutnya dengan masyarakat komunis.
Kita lihat founding father kita yaitu Soekarno. Dalam masa perjuangan kemerdekaan Soekarno membawa gerakan pembebasan dalam bingkai marhaenisme. Marhaenisme ini berangkat dari marxisme dan keadaan social Indonesia, yang notebene adalah para peteni, dan para buruh. Ini yang menjadi landasan perjuangan bangsa Indonesia pada tempo dulu. Selin itu kita lihat Tan Malaka. Tan Malaka adalah tokoh filsafat asli dari Indonesia yang mempunyai konsep yang cukup matang dalam mengupas keadaan tatanan social Indonesia. Bukunya yang terkenal dan sering menjadi rujukan para kaum pergerakan adalah Materialisme Dialektika dan Logika (MADILOG). Sejatinya kedua tokoh tersebut adalah beragama Islam. Akan tetapi demi membebaskan masyarakat dari kungkungan penjajahan mereka menggunakan teori marxisme sebagai alat analisis dan gerakannya.
Selain itu, di dunia Islam kita mengenal Muhammad Abduh, Hasan Hanafi, Asghar Ali Enginer, Muhammad Arkon dan para pemikir Islam lainnya. Mereka mengangkat persoaalan pendidikan, kemanusiaan dan pembelaan terhadap kaum perempuan yang merupakan bentuk pembebasan dalam pemikiran Islam. Kita sebagai mahasiswa muslim harus mempunyai pemikiran yang prgresif. Pemikiran-pemikiran revolusioner dari Hasan Hanafi dan Asghar Ali Enginer jangan menjadi asing untuk kita. Pemikiran-pemikiran meraka akan menjadi sebuah pencerahan untuk kita.
Cendikiawan muslim Indonesia seperti Buya Syafii Maarif, K.H. Abdurrahman Wahid, Noor Cholis Madjid dan tokoh pluralism lainnya memberikan sumbangsih begitu besar dalam pemikiran Islam. Islam terasa luas dan begitu lunak jika dimaknai secara universal. Sesuai dengan kemajemukan bangsa Islam sejatinya menjadi agama rahmatan lil alamin. Ini adalah sebuah bentuk representative yang sangat baik dari hubungan manusia dengan manusia. Dalam bingkai pluralism bukan berarti membentuk agama baru, akan tetapi lewat pluralism dapat menyatukan seluruh komponen umat beragama dalam menjunjung tinggi bangsa yang satu bangsa Indonesia.
Selain itu, pendiri Muhammadiyah K.H. Ahmad Dahlan mempunyai pemikiran yang progresif dalam upaya merubah dan memajukan tatanan social. Dalam teology al-ma’un semangat bersosial yang menjadi cirri dari pergerakan Muhammadiyah. Ini merupakan sebuah bentuk pembebasan. Dimana dalam teology al-ma’un memberantas kemiskinan dan kebodohan adalah suatu hal yang utama dalam upaya membangun dan mencerdaskan bangsa. Demikianlah beberapa gerakan pembebasan yang saya gambarkan.



D. MDH Sebagai Alat Analis gerakan IMM
         
          Kita mulai dari penjelasan MDH. Apa itu MDH? MDH merupakan kepanjangan dari kata Materilalisme Dialektika Historis. Materialisme Dialektika adalah sebuah metode berpikir dalam menganalisa penindasan-penindasan yang terjadi pada manusia dan dilakukan oleh manusia[2]. MDH ini diciptakan oleh tokoh filsafat terkenal dari jerman yaitu Karl Marx (1883). Marx adalah tokoh revolusioner yang hidupnya digunakan demi kemanusiaan. Marx dalam menulis bukunya bekerjasama dengan Fredric Angles.
          Kenapa MDH sebagai alat analisi IMM? IMM sejatinya adalah sebuah pergerakan mahasiswa. Sebuah pergerakan mahasiswa mempunyai cirri progresif dan masiv. Materilisme Dialektis Historis sangat cocok sebagai alat analisis teman-teman di IMM. Hal ini kerena MDH merupakan sebuah teori dan praksis dalam upaya mengalisa penindasan penindasan yang terjadi di Negara kita. Dalam MDH lebih mengutamakan praktik dibandingkan teori akan tetapi dalam mempelajari MDH kita tidak dapat terlepas dari bacaan teori-teori yang berkembang kemudian untuk dipraktekan.
          Ciri dari MDH adalah adanya sebuah perjuangan kelas. Seperti dikatakan di atas, perjuangan kelas ini muncul karena danya penghisapan pada manusia. MDH adalah suatu senjata teori atau moril bagi proletariat untuk mengubah sistem masyarakat lama, menghapuskan penghisapan manusia oleh manusia dan menciptakan dunia baru yaitu masyarakat tanpa kelas. Tegasnya,  MDH  dan proletariat adalah dua hal yang tidak dapat dipisah-pisahkan  dalam mewujutkan masyarakat tanpa kelas itu. Seperti yang ditegaskan oleh Marx, bahwa proletariat mendapatkan senjata morilnya pada MDH, sedangkan MDH mendapatkan senjata materiilnya pada proletariat. Kita adalah bagian dari proletariat yang turut dihisap oleh system Negara yang menindas.
          IMM dengan teori MDH akan memberikan kontribusi penting dalam membebaskan rakyat dari penghisapan Negara. IMM sebagai organisasi mahasiswa Islam perlu mempelajari Marxisme. Karena marxisme dengan Islam mempunyai kesinambungan, sama-sama melawan sebuah penindasan demi terciptanya socialism[3]. Socialism ini adalah merupakan masyarakat tanpa kelas. Adapun salah satu ayat surat Al Mukminun ayat 52 mengatakan: "Sesungguhnya ini, ummat kamu, ummat yang satu dan Aku Tuhanmu, sebab itu takutlah kepada Ku. "Menurut Mansour Fakih dalam tulisannya "Mencari Teologi untuk Kaum Tertindas", bahwa doktrin tauhid adalah tema pokok setiap teologi dalam Islam. Tauhid dalam teologi pembaharuan, berkisar sekitar ke-Esaan Tuhan, dengan penolakan terhadap penafsiran terhadap Tuhan. Tauhid dalam perspektif "teologi kaum tertindas" lebih ditekankan kepada keesaan ummat manusia. Dengan kata lain doktrin Tauhid menolak segenap bentuk diskriminasi dalam bentuk warna kulit, kasta ataupun kelas. Konsep masyarakat Tauhidi adalah suatu konsep penciptaan masyarakat tanpa kelas
          Menurut HOS Tjokroaminoto melalui bukunya "Islam dan Sosialisme" yang ditulisnya pada bulan November 1924 di Maitarat, bahwa menghisap keringatnya orang-orang yang bekerja, memakan hasil pekerjaan lain orang, tidak memberikan bagian keuntungan yang mestinya (dengan seharusnya) menjadi bahagian lain orang yang turut bekerja mengeluarkan keuntungan semua perbuatan yang serupa itu (oleh Karl Marx disebut memakan keuntungan "meerwaarde" (nilai lebih) adalah dilarang dengan sekeras-kerasnya oleh agama Islam, karena itulah perbuatan "riba" belaka. Dengan begitu maka nyatalah agama Islam memerangi kapitalisme sampai pada "akarnya", membunuh kapitalisme mulai dari pada benihnya. Oleh karena pertama-tama sekali yang menjadi dasarnya kapitalisme, yaitu memakan keuntungan meerwaarde sepanjang fahamnya Karl Marx dan "memakan riba", sepanjang fahamnya Islam.
          Dengan IMM sebagai actor pembebasan seyogyanya harus mempunyai system filsafat yang baik sebagai pisau analis. Maka dengan ini saya tegaskan bahwa MDH sebagai alat analisis untuk melakukan sebuah gerakan pembebasan. MDH tidak menyimpang dengan ajaran Islam.

E. IMM Sebagai Gerakan Mahasiswa Pembebasan
          Dari beberapa sub bab di atas, saya mencoba menawarkan konsep dari gerakan pembebasan. IMM sebagai organisasi mahasiswa yang bergerak dibiang keilmuan, kemahasiswaan dan social seyogyanya mampu membebaskan masyarakat dari belenggu penghisapan capitalism sehingga mampu meberantas kebodohan, penghisapan, kemiskinan, dan kelaparan di muka bumi Indonesia raya ini. IMM sebagai pelopr, pelangsung dan penyempurna cita-cita Muhammadiyah ini haruslah mempunyai teroosan-terobosan baru dibidang intelektual dan kegiatan social agar dapat menjadikan cirri dari Ikatan Mahasiswa Muhammadiyah.
          IMM tidak hanya berkutat dalam isu-isu keagamaan, akan tetapi IMM juga mampu memberikan pandangan politik demi kemajuan Bangsa dan Negara. IMM sebagai organisasi besar senantiasa mampu berperan aktif dalam mengiring perkembangan Bangsa dan Negara. Tak terlepas dari Ideologi Muhammadiyah dan Trilogy IMM, dengan menggunakan materialism dialectic history IMM dapat bergerak lebih progresif dan lebih masiv dalam menanggapi isu-isu pemerintahan yang berkembang.
          IMM sebagai organism yang selalu berkembang dari masa ke masa. Setiap masa mempunyai tujuan dan cita-cita yang hampir tidak sama sesuai dengan keadaan sosiopolitik di Indonesia. Lambat laun IMM harus memiliki perubahan dan perkembangan secara signifikan, dari segi pemikiran dan gerakan. Jangan pernah hilangkan budaya diskusi dan membaca demi tercapainya pencerahan yang sebenar-benarnya.




Salam Sukses Sejati,

Billahi fi sabilil haq, fastabikul khairot



Wassalamu’alaikum wr. wb.




















DAFTAR BACAAN


Raharjo, Dawam. M dkk. 2010. Satu Abad Muhammadiyah: Mengkaji Ulang Arah Pembaruan. Jakarta: Paramadina.

Makalah: Kelas-kelas Sosial dan Perjuangan Kelas (Doug Lorimer).

Makalah: Pengantar Materilisme Dialektika Historis

Tjokroaminoto, HOS. 1924. Islam dan Sosialisme. Maitarat.

Listiyono Santoso, dkk. 2010. Epistemologi Kiri: Seri pemikiran Tokoh. Yogyakarta: Ar-Ruzz media




* Fahrudin Yusup adalah mahasiswa IAIN Syekh Nurjati Cirebon, perwakilan dari Pimpinan Cabang IMM Cirebon dan menjabat sebagai Ketua Bidang Hikmah.
[2]   Makalah pengantar materilaisme dealektis historis oleh Suyatno
[3] H. Agus Salim mengatakan bahwa Nabi Muhammad SAW telah mengajarkan Sosialisme seribu dua ratus tahun sebelum Karl Marx. Karena Manifes Komunis yang terbit pada tahun 1848 adalah hasil studi Karl Mark tentang perkembangan sistem masyarakat sebelumnya. Tentu juga termasuk, baik secara langsung atau tidak, Sosialisme yang diajarkan Nabi Muhammad tsb. Karena tujuan yang hendak dicapai Islam dengan komunis sama-sama masyarakat tanpa kelas (Tauhidi-komunis) dan hal itu akan terwujud melalui tingkatan masyarakat sosialis (mustadhafin menjadi pemimpin di bumi). Masyarakat sosialis baru terwujud atas "usaha kaum" atau perjuangan kelas, maka sudah pada tempatnya kerjasama komunis untuk merebutnya.

Selasa, 31 Mei 2011

Aljabar-Abstrak


BAB  I     STRUKTUR  ALJABAR 


Sebuah sistem dimana terdapat sebuah himpunan dan satu atau lebih dari satu operasi n-ary, yang didefinisikan pada himpunan tersebut, dinamakan sistem aljabar. Selanjutnya, sebuah sistem aljabar akan dinyatakan dengan (S,f1 ,f2 ,f3 ,...,fn) dimana S sebuah himpunan tidak kosong dan f1 , f2 , ...., fn  operasi-operasi yang didefinisikan pada S. Sebagai contoh, (Z,+) adalah sebuah sistem aljabar yang dibentuk oleh himpunan bilangan bulat Z dan operasi penjumlahan biasa ; (Z,+,x) adalah sebuah sistem aljabar yang dibentuk oleh himpunan bilangan bulat dan dua buah operasi biner.
Sistem aljabar yang termasuk dalam pokok bahasan Matematika Diskrit yang akan diberikan adalah sistem aljabar satu operasi biner dan sistem aljabar dua operasi biner. Sebelum melihat jenis-jenis sistem aljabar dan konsep-konsep yang berkaitan dengannya, kita akan tinjau lebih dahulu operasi biner dan sifat-sifat operasi biner.

1.1. OPERASI BINER

Operasi biner pada himpunan tidak kosong S adalah pemetaan dari S x S kepada S. Notasi yang digunakan untuk menyatakan operasi biner adalah +, x, *, · , Å , Ä , dan sebagainya. Hasil dari sebuah operasi, misalnya Ä , pada elemen a dan b akan ditulis sebagai a Ä b.
            Contoh 1.1.  
            Operasi berikut adalah beberapa contoh operasi biner :
-. Operasi pembagian pada bilangan riil.
            -. Warna rambut anak yang ditentukan oleh warna rambut orang tuanya.
            -. Operasi biner Å yang didefinisikan sebagai   a Å b = a + b – 2ab.                    ð



1.2. SIFAT OPERASI BINER

            Sifat-sifat yang dimiliki oleh sebuah sistem aljabar nantinya ditentukan oleh sifat-sifat yang dimiliki oleh setiap operasi di dalam sistem aljabar tersebut. Berikut akan diuraikan sifat-sifat yang dapat dimiliki oleh sebuah operasi biner.
Misalkan  *  dan  Å  adalah operasi biner.  Operasi * dikatakan :
-. KOMUTATIF ,        jika  a * b = b * a, untuk setiap   a, b.
-. ASOSIATIF,           jika  (a * b) * c  = a * (b * c), untuk setiap   a, b, c.
-. Mempunyai :
IDENTITAS, jika terdapat  e  sedemikian hingga a * e = e * a = a, untuk setiap a.
IDENTITAS KIRI, jika terdapat e1 sedemikian hingga e1 * a = a, untuk setiap a.
IDENTITAS KANAN, jika terdapat e2 sedemikian hingga a * e2 = a, untuk setiap
-. Mempunyai sifat INVERS, jika untuk setiap  a  terdapat  a-1  sedemikian hingga      a * a-1 = a-1 * a = e, dimana  e adalah elemen identitas untuk operasi  *.                a-1 disebut invers dari elemen  a.
-. DISTRIBUTIF terhadap operasi  Å , jika untuk setiap a, b, c  berlaku  a * (b Å c ) = ( a * b) Å (a * c)  dan  (b Å c ) * a = ( b * a) Å (c * a).

            Contoh 1.2.
            Operasi biner penjumlahan biasa adalah sebuah operasi yang bersifat komutatif, karena untuk sembarang bilangan  x  dan  y berlaku  x+y = y+x. Operasi penjumlahan bersifat asosiatif, karena untuk sembarang x, y, z berlaku (x+y)+z = x+(y+z). Identitas untuk operasi penjumlahan adalah 0 (nol). Invers penjumlahan untuk sembarang bilangan p adalah –p, karena  p+(-p)=0.
                                                                                                                                         ð
Contoh 1.3.
-. Operasi perkalian bersifat distributif terhadap operasi penjumlahan, karena untuk setiap bilangan  a, b dan c  berlaku    a x (b+c) = (a x b) + (a x c) dan    (b + c) x a = (b x a) + (c x a).
-. Operasi penjumlahan tidak bersifat distributif terhadap operasi perkalian, karena terdapat   p, q  dan  r  dimana  p + (q x r)  ¹  (p + q) x (p + r). Sebagai contoh    2 + (3 x 4)  ¹ (2 + 3) x (2 + 4).   ð

           

Himpunan  S  dikatakan tertutup terhadap terhadap operasi biner * ,  jika untuk setiap  a, b Î S  berlaku  a * b Î S

Contoh 1.4.
-.   Himpunan bilangan bulat  Z  tertutup terhadap operasi penjumlahan biasa, karena untuk setiap  x, y Î Z berlaku  x + y Î Z.
-. Himpunan bilangan bulat  Z  tidak tertutup terhadap operasi pembagian biasa, karena terdapat   2, 3 Î Z  dimana  2 : 3 Ï Z.                                                                                     ð

Soal Latihan 1.1.
1.     Tunjukkan bahwa himpunan bilangan genap tertutup terhadap operasi penjumlahan.
2.     Tunjukkan bahwa operasi penjumlahan bersifat asosiatif pada himpunan bilangan kelipatan 2.
3.     Misalkan A adalah himpunan bilangan asli. Operasi biner * didefinisikan pada himpunan tersebut. Selidiki sifat asosiatif operasi biner yang didefinisikan sebagai berikut :         [LIU]
a.     a * b = a + b + 3.
b.     a * b = a + b – 2ab.
c.      a * b = a + 2b.
d.    a * b = max (a,b).
4.     Misalkan (A,*) sebuah sistem aljabar dengan * operasi biner dimana untuk setiap a,b Î A berlaku  a * b = a. Tunjukkan bahwa  * bersifat asosiatif.                                                      [LIU]

Å
a
b
c
d
e
a
a
b
c
b
d
b
b
c
a
e
c
c
c
a
b
b
a
d
b
e
b
e
d
e
d
b
a
d
c

 
5.    Operasi biner Å  didefinisikan pada himpunan C = {a, b, c, d, e} dalam tabel berikut :




a. Tentukan b Å d, c Å d dan (a Å d) Å c.
b.  Apakah operasi Å bersifat komutatif ?.
c. Tentukan (bila ada) elemen identitas untuk operasi Å.


Pertemuan Ke-2
                                                                                                                                                      

1.3. SISTEM ALJABAR SATU OPERASI

            Sistem aljabar satu operasi  (S,*) dibentuk oleh sebuah himpunan dan sebuah operasi yang didefinisikan terhadapnya. Berdasarkan sifat-sifat yang dimiliki, sistem aljabar satu operasi dapat dibedakan menjadi beberapa jenis seperti yang akan diuraikan berikut ini.

 

1.3.1. SEMIGROUP

            Sistem aljabar  (S, *) merupakan semigroup, jika
1.  Himpunan S tertutup di bawah operasi *.
2.  Operasi * bersifat asosiatif.

Contoh 1.5.
(Z,+) merupakan sebuah semigroup                                                                        ð

Jika operasi biner pada semigroup (S,*) tersebut bersifat komutatif, maka semigroup (S,*) disebut juga semigroup abel.

Contoh 1.6.
(Z,+) merupakan sebuah semigroup abel                                                               ð

1.3.2. MONOID

            Sistem aljabar  (S, *) merupakan monoid, jika
1.  Himpunan S tertutup di bawah operasi * .
2.  Operasi * bersifat asosiatif.
3.  Pada S terdapat elemen identitas untuk operasi * .

Contoh 1.7.
(Z,+) merupakan sebuah monoid dengan elemen identitas penjumlahan .    ð

Jika operasi biner pada monoid (S,*) tersebut bersifat komutatif, maka monoid (S,*) disebut juga monoid abel.

Contoh 1.8.
Sistem aljabar (Z,+) merupakan sebuah monoid abel                                          ð

1.3.3. GROUP

            Sistem aljabar  (S, *) merupakan monoid, jika
1.  Himpunan S tertutup di bawah operasi * .
2.  Operasi * bersifat asosiatif.
3.  Pada S terdapat elemen identitas untuk operasi * .
4.  Setiap anggota S memiliki  invers untuk operasi * dan invers tersebut merupakan anggota S  juga.

Contoh 1.9.
(Z,+) merupakan sebuah group                                                                                 ð

Jika operasi biner pada group (S,*) tersebut bersifat komutatif, maka group (S,*) disebut juga group abel.

Contoh 1.10.
Sistem aljabar (Z,+) merupakan sebuah group abel                                             ð

Soal Latihan 1.2.
1.    Tunjukkan bahwa himpunan bilangan kelipatan dua membentuk group di bawah operasi penjumlahan.
2.    Misalkan (A,*) sebuah semigroup dan a sebuah anggota A. Pada himpunan A tersebut didefinisikan operasi biner  dimana  x  y = x * a * y. Tunjukkan bahwa operasi  tersebut bersifat asosiatif.                                                                                                                                         [LIU]
3.    Misalkan (A,*) sebuah semigroup komutatif. Tunjukkan bahwa jika   a * a = a dan b * b = b, maka  (a * b) * (a * b) = a * b.                                                                                                      [LIU]


Pertemuan Ke-3

1.3.4. SUBGROUP

            Misalkan  (G,*) sebuah group dan  H Í G.  Jika  (H,*) membentuk group, maka  (H,*)  merupakan subgroup dari group (G,*).

Contoh 1.11.
(Z,+) merupakan sebuah group. Misalkan  A2 ={ x | x = 3n, n Î Z }. Jelas bahwa  A2 Í Z. Karena  (A2,+) membentuk group,  maka  (A2,+) merupakan subgroup dari group (Z,+). ð

Contoh 1.12.
Diketahui  Z4 = {0, 1, 2, 3} dan operasi biner  Å  didefinisikan sebagai 
.
(Z4 , Å)  adalah sebuah group. 
Misalkan  B = {0, 2}. Jelas bahwa B Í Z4 .  (B , Å)  merupakan subgroup dari group (Z4 , Å).  Sedangkan  C = {0, 1, 2}, yang juga merupakan himpunan bagian dari Z4 ,  bukan merupakan subgroup dari group Z4 .                                                                                              ð

1.3.5. SUBGROUP SIKLIK

            Misalkan (G,*) sebuah group dengan elemen identitas e Î G. Jika a Î G, maka subgroup siklik yang dibangun oleh  a  adalah himpunan  
                                           gp(a)   = { ... , a-2 , a-1 , a0 , a1 , a2 , ... }
                                                      = { an | n Î Z }.
Dimana a0 = e. Dalam hal ini berlaku pula hukum eksponen, am * an = am+n untuk m,nÎZ. Sebagai contoh,  a4 * a2 = a6 ,  a1 * a1 = a2 .
            Untuk  n Ï Z+ , an dapat dicari dengan mengingat bahwa a0 = e dan hukum eksponen a0 = a1 * a-1.  Berdasarkan kedua hal tersebut, maka  a-1 adalah  invers dari  a  untuk operasi * dan  a-2 , a-3 dan seterusnya dapat dicari.
           
Order dari subgroup siklik gp(a) = { an | n Î Z } adalah integer positif  m  terkecil sedemikian hingga  am = e.

Contoh 1.13.
Perhatikan group (Z4, Å) dari contoh 1.12. di atas. Elemen identitas pada group tersebut adalah 0. Subgroup siklik yang dibangun oleh  2 Î Z4 adalah gp(2) = { 2n | n Î Z } = {0, 2}.  Order dari gp(2) tersebut adalah 2.                                                                                                         ð

            Jika terdapat  x Î G sedemikian hingga  gp(x) = G, maka group G disebut group siklik dan  elemen  x  tersebut dinamakan generator dari G.

Contoh 1.14.
Perhatikan group (Z4,Å) dari contoh 1.12. Subgroup siklik yang dibangun oleh  1 Î Z4 adalah gp(1) = { 1n | n Î Z } = {0, 1, 2, 3}. Oleh karena gp(1) = Z4, maka (Z4,Å) merupakan group siklik dan 1 merupakan generator.                                                                                              ð

1.3.6. SUBGROUP NORMAL

            Misalkan (G,*) sebuah group dan (H,*) merupakan subgroup dari group (G,*). Koset kiri dari H adalah himpunan  a*H = { a * h |  " h Î H } dan koset kanan dari H adalah    H*a = { h * a |  " h Î H }, untuk setiap a Î G.

            Contoh 1.15.
(Z4 , Å)  adalah group dan B = {0 , 2} adalah subgroup dari  (Z4 , Å).  Koset kiri dari  B  adalah  a Å B untuk setiap  a Î Z4   :   0 Å B = {0 , 2} , 1 Å B = {1 , 3} , 2 Å B = {0 , 2} , dan 3 Å B = {1 , 3}. Jadi, koset kiri dari B adalah {0,2} dan {1,3}. Koset kanan dari  B  adalah  B Å a untuk setiap a Î Z4  : B Å 0 = {0 , 2}, B Å 1 = {1 , 3} , B Å 2 = {0 , 2} , dan B Å 3 = {1 , 3}. Jadi, koset kanan dari B adalah {0,2} dan {1,3}                                                                                                                ð

Suatu subgroup (H,*) dari group (G,*) merupakan subgroup normal jika untuk setiap  a Î G berlaku  a*H = H*a   (koset kiri H = koset kanan H, untuk setiap anggota G).


Contoh 1.16.
B = {0 , 2} yang merupakan subgroup dari (Z4 , Å) adalah subgroup normal dari (Z4 , Å), karena untuk setiap  a Î Z4 ,  a Å B = B Å a.                                                                         ð
           
Himpunan koset dari subgroup normal H pada group (G, *) membentuk group kuosien di bawah operasi perkalian koset.

Contoh 1.17.
Koset dari B = {0 , 2} yang merupakan subgroup dari (Z4,Å) adalah {0 , 2} dan {1 , 3}. Himpunan {{0 , 2}, {1 , 3}} membentuk group kuosien di bawah operasi perkalian koset. 
Ä
{0 , 2}
{1 , 3}
{0 , 2}
{0 , 2}
{1 , 3}
{1 , 3}
{1 , 3}
{0 , 2}
                                                                                                                                         ð
Soal Latihan 1.3.
1.    Tentukan subgroup siklik yang dibangun oleh  3 dari group (Z,+).
2.    Operasi biner Ä  dari group (V, Ä) didefinisikan dalam bentuk tabel berikut.
Ä
e
a
b
c
e
e
a
b
c
a
a
b
c
e
b
b
c
e
a
c
c
e
a
b
a.      Tentukan subgroup siklik yang dibangun oleh setiap anggota V dan tentukan ordernya.
b.      Apakah V merupakan group siklik ? Jelaskan !
3.    Himpunan bilangan kelipatan 3 merupakan himpunan bagian dari himpunan bilangan bulat Z. Diketahui bahwa (Z,+) adalah sebuah group abel. Selidiki apakah himpunan bilangan kelipatan 3 merupakan subgroup normal dari group (Z,+).  Jika ya, tentukan koset kiri dari himpunan tersebut.


Pertemuan Ke-4

 

1.4. SISTEM ALJABAR DUA OPERASI

            Sebuah sistem aljabar dengan dua operasi (S, +, *) dibentuk oleh sebuah himpunan, sebuah operasi aditif ‘+’ dan sebuah operasi multiplikatif ‘*’. Sistem aljabar dengan dua operasi yang akan dibahas di sini adalah ring dan field.

1.4.1. RING

             Sebuah sistem aljabar (S,+,*) adalah sebuah ring jika sifat-sifat berikut dipenuhi :
1.    (S, +) merupakan group abel.
2.    Himpunan S tertutup terhadap operasi *.
3.    Operasi * bersifat asosiatif, untuk setiap  x, y, z Î S  berlaku  (x * y ) * z = x * ( y * z).
4.    Untuk setiap  x, y, z Î S  berlaku hukum distributif kiri  x *( y + z) = (x * y) + (x * z) dan hukum distributif kanan (y + z) * x = (y * x) + (z * x).

Contoh 1.18.
Sistem aljabar (Z,+,x) merupakan sebuah ring.                                                     ð

Jika kedua operasi biner pada ring (S,+,*) bersifat komutatif, maka ring tersebut merupakan ring komutatif.

Contoh 1.19.
Operasi x pada ring (Z,+,x) bersifat komutatif. Dengan demikian (Z,+,x) merupakan sebuah ring komutatif.                                                                                                                       ð

Jika pada ring  (S,+,*)  terdapat  e Î S dimana  a * e = e * a = a,  untuk setiap aÎS, maka ring tersebut merupakan ring berunitas. Elemen e tersebut merupakan identitas untuk operasi multiplikatif * dan dinamakan unitas. Elemen identitas untuk operasi aditif pada ring (S,+,*)  disebut elemen nol (zero element).


Contoh 1.20.
Ring  (Z,+,x)  merupakan ring berunitas dengan 1ÎZ sebagai unitas dan 0ÎZ sebagai elemen nol.                                                                                                                                  ð

            Jika operasi *  pada ring  (S,+,*)  bersifat komutatif dan terdapat  e Î S dimana  a * e = e * a = a,  untuk setiap aÎS, maka (S,+,*)  merupakan ring komutatif berunitas.

Contoh 1.21.
Ring  (Z,+,x)  merupakan ring komutatif berunitas.                                               ð

Jika pada ring berunitas (S,+,*),  untuk setiap a Î S, a bukan elemen nol, terdapat  a-1 Î S sedemikian hingga   a * a-1 = a-1 * a = e, maka ring tersebut merupakan division ring.

Contoh 1.22.
Ring (Z,+,x) bukan merupakan division ring, karena untuk  2 Î S invers perkaliannya adalah  ½  Ï Z.                                                                                                                                  ð

1.4.2. FIELD

             Sebuah sistem aljabar (S,+,*) adalah sebuah field jika sifat-sifat berikut dipenuhi :
1.    (S, +,*) merupakan division ring.
2.    (S - {0}, *) merupakan group abel, dimana  0  merupakan elemen nol.

Contoh 1.23.
Sistem aljabar (R,+,x) merupakan field  (R = himpunan bilangan riil).              ð



1.4.3. SUBRING

             Misalkan (S,+,*) sebuah ring dan A sebuah himpunan bagian yang tidak kosong dari S. Himpunan A merupakan subring dari ring S, jika (A,+,*) merupakan ring.

Contoh 1.24.
Himpunan bilangan bulat Z merupakan himpunan bagian dari himpunan bilangan riil R. Sistem aljabar (R,+,x) merupakan sebuah ring. Oleh karena (Z,+,x) merupakan ring, maka (Z,+,x)  merupakan subring dari ring (R,+,x)   .                                                                     ð

Soal Latihan 1.4.
1.     Nyatakan Benar atau Salah.
______   Setiap field merupakan sebuah ring.
______   Setiap ring memiliki identitas multiplikatif.
______   Perkalian pada sebuah field bersifat komutatif.
______   Penjumlahan pada setiap ring bersifat komutatif.
2.     Selidiki apakah sistem aljabar berikut merupakan ring. 
a.    (Z+, +, x).
b.    (Zn , + , x) ; Zn = { p x n | p Î Z }.
3.     Diketahui  (Z, +, x) merupakan sebuah ring. Selidiki apakah himpunan bilangan kelipatan 2 merupakan subring dari ring (Z, +, x).
4.    Diketahui  M2 = { B ½ B matriks riil ordo 2x2}. Pada M2 didefinisikan operasi penjumlahan matriks +2 dan  operasi perkalian matriks  x2. Selidiki sistem aljabar (M2 , +2 , x2 ).