Aljabar-Abstrak

BAB  I     STRUKTUR  ALJABAR 

Sebuah sistem dimana terdapat sebuah himpunan dan satu atau lebih dari satu operasi n-ary, yang didefinisikan pada himpunan tersebut, dinamakan sistem aljabar. Selanjutnya, sebuah sistem aljabar akan dinyatakan dengan (S,f₁ ,f₂ ,f₃ ,...,f_n) dimana S sebuah himpunan tidak kosong dan f₁ , f₂ , ...., f_n  operasi-operasi yang didefinisikan pada S. Sebagai contoh, (Z,+) adalah sebuah sistem aljabar yang dibentuk oleh himpunan bilangan bulat Z dan operasi penjumlahan biasa ; (Z,+,x) adalah sebuah sistem aljabar yang dibentuk oleh himpunan bilangan bulat dan dua buah operasi biner.

Sistem aljabar yang termasuk dalam pokok bahasan Matematika Diskrit yang akan diberikan adalah sistem aljabar satu operasi biner dan sistem aljabar dua operasi biner. Sebelum melihat jenis-jenis sistem aljabar dan konsep-konsep yang berkaitan dengannya, kita akan tinjau lebih dahulu operasi biner dan sifat-sifat operasi biner.

1.1. OPERASI BINER

Operasi biner pada himpunan tidak kosong S adalah pemetaan dari S x S kepada S. Notasi yang digunakan untuk menyatakan operasi biner adalah +, x, *, · , Å , Ä , dan sebagainya. Hasil dari sebuah operasi, misalnya Ä , pada elemen a dan b akan ditulis sebagai a Ä b.

            Contoh 1.1.  

            Operasi berikut adalah beberapa contoh operasi biner :

-. Operasi pembagian pada bilangan riil.

            -. Warna rambut anak yang ditentukan oleh warna rambut orang tuanya.

            -. Operasi biner Å yang didefinisikan sebagai   a Å b = a + b – 2ab.                    ð

1.2. SIFAT OPERASI BINER

            Sifat-sifat yang dimiliki oleh sebuah sistem aljabar nantinya ditentukan oleh sifat-sifat yang dimiliki oleh setiap operasi di dalam sistem aljabar tersebut. Berikut akan diuraikan sifat-sifat yang dapat dimiliki oleh sebuah operasi biner.

Misalkan  *  dan  Å  adalah operasi biner.  Operasi * dikatakan :

-. KOMUTATIF ,        jika  a * b = b * a, untuk setiap   a, b.

-. ASOSIATIF,           jika  (a * b) * c  = a * (b * c), untuk setiap   a, b, c.

-. Mempunyai :

IDENTITAS, jika terdapat  e  sedemikian hingga a * e = e * a = a, untuk setiap a.

IDENTITAS KIRI, jika terdapat e₁ sedemikian hingga e₁ * a = a, untuk setiap a.

IDENTITAS KANAN, jika terdapat e₂ sedemikian hingga a * e₂ = a, untuk setiap

-. Mempunyai sifat INVERS, jika untuk setiap  a  terdapat  a^-1  sedemikian hingga      a * a^-1 = a^-1 * a = e, dimana  e adalah elemen identitas untuk operasi  *.                a^-1 disebut invers dari elemen  a.

-. DISTRIBUTIF terhadap operasi  Å , jika untuk setiap a, b, c  berlaku  a * (b Å c ) = ( a * b) Å (a * c)  dan  (b Å c ) * a = ( b * a) Å (c * a).

            Contoh 1.2.

            Operasi biner penjumlahan biasa adalah sebuah operasi yang bersifat komutatif, karena untuk sembarang bilangan  x  dan  y berlaku  x+y = y+x. Operasi penjumlahan bersifat asosiatif, karena untuk sembarang x, y, z berlaku (x+y)+z = x+(y+z). Identitas untuk operasi penjumlahan adalah 0 (nol). Invers penjumlahan untuk sembarang bilangan p adalah –p, karena  p+(-p)=0.

                                                                                                                                         ð

Contoh 1.3.

-. Operasi perkalian bersifat distributif terhadap operasi penjumlahan, karena untuk setiap bilangan  a, b dan c  berlaku    a x (b+c) = (a x b) + (a x c) dan    (b + c) x a = (b x a) + (c x a).

-. Operasi penjumlahan tidak bersifat distributif terhadap operasi perkalian, karena terdapat   p, q  dan  r  dimana  p + (q x r)  ¹  (p + q) x (p + r). Sebagai contoh    2 + (3 x 4)  ¹ (2 + 3) x (2 + 4).   ð

           

Himpunan  S  dikatakan tertutup terhadap terhadap operasi biner * ,  jika untuk setiap  a, b Î S  berlaku  a * b Î S

Contoh 1.4.

-.   Himpunan bilangan bulat  Z  tertutup terhadap operasi penjumlahan biasa, karena untuk setiap  x, y Î Z berlaku  x + y Î Z.

-. Himpunan bilangan bulat  Z  tidak tertutup terhadap operasi pembagian biasa, karena terdapat   2, 3 Î Z  dimana  2 : 3 Ï Z.                                                                                     ð

Soal Latihan 1.1.

1.     Tunjukkan bahwa himpunan bilangan genap tertutup terhadap operasi penjumlahan.

2.     Tunjukkan bahwa operasi penjumlahan bersifat asosiatif pada himpunan bilangan kelipatan 2.

3.     Misalkan A adalah himpunan bilangan asli. Operasi biner * didefinisikan pada himpunan tersebut. Selidiki sifat asosiatif operasi biner yang didefinisikan sebagai berikut :         [LIU]

a.     a * b = a + b + 3.

b.     a * b = a + b – 2ab.

c.      a * b = a + 2b.

d.    a * b = max (a,b).

4.     Misalkan (A,*) sebuah sistem aljabar dengan * operasi biner dimana untuk setiap a,b Î A berlaku  a * b = a. Tunjukkan bahwa  * bersifat asosiatif.                                                      [LIU]

Å a b c d e a a b c b d b b c a e c c c a b b a d b e b e d e d b a d c

5.    Operasi biner Å  didefinisikan pada himpunan C = {a, b, c, d, e} dalam tabel berikut :

a. Tentukan b Å d, c Å d dan (a Å d) Å c.

b.  Apakah operasi Å bersifat komutatif ?.

c. Tentukan (bila ada) elemen identitas untuk operasi Å.

Pertemuan Ke-2

                                                                                                                                                      

1.3. SISTEM ALJABAR SATU OPERASI

            Sistem aljabar satu operasi  (S,*) dibentuk oleh sebuah himpunan dan sebuah operasi yang didefinisikan terhadapnya. Berdasarkan sifat-sifat yang dimiliki, sistem aljabar satu operasi dapat dibedakan menjadi beberapa jenis seperti yang akan diuraikan berikut ini.

 

1.3.1. SEMIGROUP

            Sistem aljabar  (S, *) merupakan semigroup, jika

1.  Himpunan S tertutup di bawah operasi *.

2.  Operasi * bersifat asosiatif.

Contoh 1.5.

(Z,+) merupakan sebuah semigroup                                                                        ð

Jika operasi biner pada semigroup (S,*) tersebut bersifat komutatif, maka semigroup (S,*) disebut juga semigroup abel.

Contoh 1.6.

(Z,+) merupakan sebuah semigroup abel                                                               ð

1.3.2. MONOID

            Sistem aljabar  (S, *) merupakan monoid, jika

1.  Himpunan S tertutup di bawah operasi * .

2.  Operasi * bersifat asosiatif.

3.  Pada S terdapat elemen identitas untuk operasi * .

Contoh 1.7.

(Z,+) merupakan sebuah monoid dengan elemen identitas penjumlahan .    ð

Jika operasi biner pada monoid (S,*) tersebut bersifat komutatif, maka monoid (S,*) disebut juga monoid abel.

Contoh 1.8.

Sistem aljabar (Z,+) merupakan sebuah monoid abel                                          ð

1.3.3. GROUP

            Sistem aljabar  (S, *) merupakan monoid, jika

1.  Himpunan S tertutup di bawah operasi * .

2.  Operasi * bersifat asosiatif.

3.  Pada S terdapat elemen identitas untuk operasi * .

4.  Setiap anggota S memiliki  invers untuk operasi * dan invers tersebut merupakan anggota S  juga.

Contoh 1.9.

(Z,+) merupakan sebuah group                                                                                 ð

Jika operasi biner pada group (S,*) tersebut bersifat komutatif, maka group (S,*) disebut juga group abel.

Contoh 1.10.

Sistem aljabar (Z,+) merupakan sebuah group abel                                             ð

Soal Latihan 1.2.

1.    Tunjukkan bahwa himpunan bilangan kelipatan dua membentuk group di bawah operasi penjumlahan.

2.    Misalkan (A,*) sebuah semigroup dan a sebuah anggota A. Pada himpunan A tersebut didefinisikan operasi biner  dimana  x  y = x * a * y. Tunjukkan bahwa operasi  tersebut bersifat asosiatif.                                                                                                                                         [LIU]

3.    Misalkan (A,*) sebuah semigroup komutatif. Tunjukkan bahwa jika   a * a = a dan b * b = b, maka  (a * b) * (a * b) = a * b.                                                                                                      [LIU]

Pertemuan Ke-3

1.3.4. SUBGROUP

            Misalkan  (G,*) sebuah group dan  H Í G.  Jika  (H,*) membentuk group, maka  (H,*)  merupakan subgroup dari group (G,*).

Contoh 1.11.

(Z,+) merupakan sebuah group. Misalkan  A₂ ={ x | x = 3n, n Î Z }. Jelas bahwa  A₂ Í Z. Karena  (A₂,+) membentuk group,  maka  (A₂,+) merupakan subgroup dari group (Z,+). ð

Contoh 1.12.

Diketahui  Z₄ = {0, 1, 2, 3} dan operasi biner  Å  didefinisikan sebagai 

.

(Z₄ , Å)  adalah sebuah group. 

Misalkan  B = {0, 2}. Jelas bahwa B Í Z₄ .  (B , Å)  merupakan subgroup dari group (Z₄ , Å).  Sedangkan  C = {0, 1, 2}, yang juga merupakan himpunan bagian dari Z₄ ,  bukan merupakan subgroup dari group Z₄ .                                                                                              ð

1.3.5. SUBGROUP SIKLIK

            Misalkan (G,*) sebuah group dengan elemen identitas e Î G. Jika a Î G, maka subgroup siklik yang dibangun oleh  a  adalah himpunan  

                                           gp(a)   = { ... , a^-2 , a^-1 , a⁰ , a¹ , a² , ... }

                                                      = { aⁿ | n Î Z }.

Dimana a⁰ = e. Dalam hal ini berlaku pula hukum eksponen, a^m * aⁿ = a^m+n untuk m,nÎZ. Sebagai contoh,  a⁴ * a² = a⁶ ,  a¹ * a¹ = a² .

            Untuk  n Ï Z₊ , aⁿ dapat dicari dengan mengingat bahwa a⁰ = e dan hukum eksponen a⁰ = a¹ * a^-1.  Berdasarkan kedua hal tersebut, maka  a^-1 adalah  invers dari  a  untuk operasi * dan  a^-2 , a^-3 dan seterusnya dapat dicari.

           

Order dari subgroup siklik gp(a) = { aⁿ | n Î Z } adalah integer positif  m  terkecil sedemikian hingga  a^m = e.

Contoh 1.13.

Perhatikan group (Z₄, Å) dari contoh 1.12. di atas. Elemen identitas pada group tersebut adalah 0. Subgroup siklik yang dibangun oleh  2 Î Z₄ adalah gp(2) = { 2ⁿ | n Î Z } = {0, 2}.  Order dari gp(2) tersebut adalah 2.                                                                                                         ð

            Jika terdapat  x Î G sedemikian hingga  gp(x) = G, maka group G disebut group siklik dan  elemen  x  tersebut dinamakan generator dari G.

Contoh 1.14.

Perhatikan group (Z₄,Å) dari contoh 1.12. Subgroup siklik yang dibangun oleh  1 Î Z₄ adalah gp(1) = { 1ⁿ | n Î Z } = {0, 1, 2, 3}. Oleh karena gp(1) = Z₄, maka (Z₄,Å) merupakan group siklik dan 1 merupakan generator.                                                                                              ð

1.3.6. SUBGROUP NORMAL

            Misalkan (G,*) sebuah group dan (H,*) merupakan subgroup dari group (G,*). Koset kiri dari H adalah himpunan  a*H = { a * h |  " h Î H } dan koset kanan dari H adalah    H*a = { h * a |  " h Î H }, untuk setiap a Î G.

            Contoh 1.15.

(Z₄ , Å)  adalah group dan B = {0 , 2} adalah subgroup dari  (Z₄ , Å).  Koset kiri dari  B  adalah  a Å B untuk setiap  a Î Z₄   :   0 Å B = {0 , 2} , 1 Å B = {1 , 3} , 2 Å B = {0 , 2} , dan 3 Å B = {1 , 3}. Jadi, koset kiri dari B adalah {0,2} dan {1,3}. Koset kanan dari  B  adalah  B Å a untuk setiap a Î Z₄  : B Å 0 = {0 , 2}, B Å 1 = {1 , 3} , B Å 2 = {0 , 2} , dan B Å 3 = {1 , 3}. Jadi, koset kanan dari B adalah {0,2} dan {1,3}                                                                                                                ð

Suatu subgroup (H,*) dari group (G,*) merupakan subgroup normal jika untuk setiap  a Î G berlaku  a*H = H*a   (koset kiri H = koset kanan H, untuk setiap anggota G).

Contoh 1.16.

B = {0 , 2} yang merupakan subgroup dari (Z₄ , Å) adalah subgroup normal dari (Z₄ , Å), karena untuk setiap  a Î Z₄ ,  a Å B = B Å a.                                                                         ð

           

Himpunan koset dari subgroup normal H pada group (G, *) membentuk group kuosien di bawah operasi perkalian koset.

Contoh 1.17.

Koset dari B = {0 , 2} yang merupakan subgroup dari (Z₄,Å) adalah {0 , 2} dan {1 , 3}. Himpunan {{0 , 2}, {1 , 3}} membentuk group kuosien di bawah operasi perkalian koset. 

Ä	{0 , 2}	{1 , 3}
{0 , 2}	{0 , 2}	{1 , 3}
{1 , 3}	{1 , 3}	{0 , 2}

                                                                                                                                         ð

Soal Latihan 1.3.

1.    Tentukan subgroup siklik yang dibangun oleh  3 dari group (Z,+).

2.    Operasi biner Ä  dari group (V, Ä) didefinisikan dalam bentuk tabel berikut.

Ä	e	a	b	c
e	e	a	b	c
a	a	b	c	e
b	b	c	e	a
c	c	e	a	b

a.      Tentukan subgroup siklik yang dibangun oleh setiap anggota V dan tentukan ordernya.

b.      Apakah V merupakan group siklik ? Jelaskan !

3.    Himpunan bilangan kelipatan 3 merupakan himpunan bagian dari himpunan bilangan bulat Z. Diketahui bahwa (Z,+) adalah sebuah group abel. Selidiki apakah himpunan bilangan kelipatan 3 merupakan subgroup normal dari group (Z,+).  Jika ya, tentukan koset kiri dari himpunan tersebut.

Pertemuan Ke-4

 

1.4. SISTEM ALJABAR DUA OPERASI

            Sebuah sistem aljabar dengan dua operasi (S, +, *) dibentuk oleh sebuah himpunan, sebuah operasi aditif ‘+’ dan sebuah operasi multiplikatif ‘*’. Sistem aljabar dengan dua operasi yang akan dibahas di sini adalah ring dan field.

1.4.1. RING

             Sebuah sistem aljabar (S,+,*) adalah sebuah ring jika sifat-sifat berikut dipenuhi :

1.    (S, +) merupakan group abel.

2.    Himpunan S tertutup terhadap operasi *.

3.    Operasi * bersifat asosiatif, untuk setiap  x, y, z Î S  berlaku  (x * y ) * z = x * ( y * z).

4.    Untuk setiap  x, y, z Î S  berlaku hukum distributif kiri  x *( y + z) = (x * y) + (x * z) dan hukum distributif kanan (y + z) * x = (y * x) + (z * x).

Contoh 1.18.

Sistem aljabar (Z,+,x) merupakan sebuah ring.                                                     ð

Jika kedua operasi biner pada ring (S,+,*) bersifat komutatif, maka ring tersebut merupakan ring komutatif.

Contoh 1.19.

Operasi x pada ring (Z,+,x) bersifat komutatif. Dengan demikian (Z,+,x) merupakan sebuah ring komutatif.                                                                                                                       ð

Jika pada ring  (S,+,*)  terdapat  e Î S dimana  a * e = e * a = a,  untuk setiap aÎS, maka ring tersebut merupakan ring berunitas. Elemen e tersebut merupakan identitas untuk operasi multiplikatif * dan dinamakan unitas. Elemen identitas untuk operasi aditif pada ring (S,+,*)  disebut elemen nol (zero element).

Contoh 1.20.

Ring  (Z,+,x)  merupakan ring berunitas dengan 1ÎZ sebagai unitas dan 0ÎZ sebagai elemen nol.                                                                                                                                  ð

            Jika operasi *  pada ring  (S,+,*)  bersifat komutatif dan terdapat  e Î S dimana  a * e = e * a = a,  untuk setiap aÎS, maka (S,+,*)  merupakan ring komutatif berunitas.

Contoh 1.21.

Ring  (Z,+,x)  merupakan ring komutatif berunitas.                                               ð

Jika pada ring berunitas (S,+,*),  untuk setiap a Î S, a bukan elemen nol, terdapat  a^-1 Î S sedemikian hingga   a * a^-1 = a^-1 * a = e, maka ring tersebut merupakan division ring.

Contoh 1.22.

Ring (Z,+,x) bukan merupakan division ring, karena untuk  2 Î S invers perkaliannya adalah  ½  Ï Z.                                                                                                                                  ð

1.4.2. FIELD

             Sebuah sistem aljabar (S,+,*) adalah sebuah field jika sifat-sifat berikut dipenuhi :

1.    (S, +,*) merupakan division ring.

2.    (S - {0}, *) merupakan group abel, dimana  0  merupakan elemen nol.

Contoh 1.23.

Sistem aljabar (R,+,x) merupakan field  (R = himpunan bilangan riil).              ð

1.4.3. SUBRING

             Misalkan (S,+,*) sebuah ring dan A sebuah himpunan bagian yang tidak kosong dari S. Himpunan A merupakan subring dari ring S, jika (A,+,*) merupakan ring.

Contoh 1.24.

Himpunan bilangan bulat Z merupakan himpunan bagian dari himpunan bilangan riil R. Sistem aljabar (R,+,x) merupakan sebuah ring. Oleh karena (Z,+,x) merupakan ring, maka (Z,+,x)  merupakan subring dari ring (R,+,x)   .                                                                     ð

Soal Latihan 1.4.

1.     Nyatakan Benar atau Salah.

______   Setiap field merupakan sebuah ring.

______   Setiap ring memiliki identitas multiplikatif.

______   Perkalian pada sebuah field bersifat komutatif.

______   Penjumlahan pada setiap ring bersifat komutatif.

2.     Selidiki apakah sistem aljabar berikut merupakan ring. 

a.    (Z₊, +, x).

b.    (Z_n , + , x) ; Z_n = { p x n | p Î Z }.

3.     Diketahui  (Z, +, x) merupakan sebuah ring. Selidiki apakah himpunan bilangan kelipatan 2 merupakan subring dari ring (Z, +, x).

4.    Diketahui  M₂ = { B ½ B matriks riil ordo 2x2}. Pada M₂ didefinisikan operasi penjumlahan matriks +₂ dan  operasi perkalian matriks  x₂. Selidiki sistem aljabar (M₂ , +₂ , x₂ ).